شرط زنجیر افزایشی

مفهوم یک حلقه نوتری هم در نظریه حلقه‌های جابجایی و هم ناجابجایی از اهمیت بنیادینی برخوردار است، که علتش نقشیست که در ساده‌سازی ساختار ایده‌آل‌های یک حلقه بازی می‌کند. به عنوان مثال، حلقه اعداد صحیح و حلقه چند جمله ای‌ها روی یک میدان، هردو حلقه‌های نوتری هستند، و ازین رو قضایایی چون قضیه لاسکر-نوتر، قضیه اشتراک کرول و قضیه پایه ای هیلبرت برای آن‌ها برقرار است. به علاوه، اگر یک حلقه نوتری باشد، آنگاه شرط زنجیر نزولی روی ایده‌آل‌های اول آن نیز برقرار خواهد بود. این خاصیت با آغاز مفهوم بعد کرول برای حلقه‌های نوتری، بشارت دهنده نظریه عمیقی در این حوزه می‌باشد.

در جبر مجرد، یک حلقه آرتینی (برخی مواقع به آن حلقه آرتین هم می‌گویند) حلقه ای است که شرط زنجیر نزولی روی ایده‌آل‌ها را ارضاء کند؛ یعنی، هیچ زنجیره نزولی از ایده‌آل‌ها با طول بی‌نهایت در آن‌ها وجود ندارد. حلقه‌های آرتینی به نام امیل آرتین، نامگذاری شده‌است، او کسی بود که اولین بار کشف کرد که شرط زنجیره نزولی برای ایده‌آل‌ها همزمان حلقه‌های متناهی و حلقه‌هایی که بر روی میدان‌ها به صورت فضاهای برداری متناهی بعد در می‌آیند را تعمیم می‌دهد. تعریف حلقه‌های آرتینی را می‌توان با جایگزینی مفهوم زنجیره‌های نزولی با این مفهوم بازتعریف نمود: شرط مینیمم.

موضوع جبر جابجایی که در ابتدا به عنوان نظریه ایده‌آل‌ها شناخته می‌شد، با کار ریچارد ددکیند بر روی ایده‌آل‌ها آغاز گشت که خود بر اساس کارهای ارنست کومر و لئوپولد کرونکر بنا نهاده شده بود. بعدها دیوید هیلبرت عبارت حلقه را معرفی کرد تا عبارت حلقه اعداد را که پیش از آن وجود داشت عمومی سازی کند. هیلبرت رهیافت مجرد تری را انتخاب نمود تا جایگزینی روش‌های محاسبه محور و ملموس گردد. این روش‌های ملموس و محاسبه محور ریشه در آنالیز مختلط و نظریهٔ پایا داشت. در عوض هیلبرت به شدت امی نوتر را تحت تأثیر قرار داد، به طوری که امی نوتر نیز بسیاری از نتایج قبلی را در قالب شرط زنجیر صعودی بازگو کرد و امروزه این شرط به نام شرط نوتری شناخته می‌شود. یک مرحله مهم دیگر کار دانشجوی هیلبرت به نام امانوئل لاسکر بود، که ایده‌آل‌های اول را معرفی کرده و اولین نسخهٔ قضیهٔ لاسکر-نوتر را اثبات کرد.