اصل موضوعی

ارنست تسرملو در هنگام کار روی نظریه اصل موضوعی مجموعه‌ها که در سال ۱۹۰۸ آن را منتشر ساخت، به این پارادکس پی‌برد ولی گمان کرد نکتهٔ کوچکی است و لذا هیچ‌گاه آن را منتشر نساخت. تسرملو در دستگاه اصل موضوعی خود، از این پارادکس با بهره‌گیری از اصل موضوعی با عنوان اصل موضوع تصریح جلوگیری کرد.

بسیاری از مفاهیم ریاضی می‌توانند به صورت دقیق تنها با استفاده از مفاهیم نظری بیان شوند. برای مثال، ساختارهای متنوعی مانند گراف، خمینه‌ها، حلقه‌ها، و فضاهای برداری همه می‌توانند به صورتی تعریف شوند که خواص اصل موضوعی متنوعی را داشته باشند. رابطه هم‌ارزی و روابط ترتیب در ریاضیات همه جا هستند، و نظریه روابط ریاضی در نظریه مجموعه‌ها می‌توانند تعریف شوند.

برنشتاین به ویژه به دلیل کارهایش در نظریه تقریب نامبردار است. او برای اثبات قضیه استون- وایرشتراس چندجمله ایهایی را که امروز به نام او به چندجمله ایهای برنشتاین نامبردار هستند معرفی نمود. افزون بر اینها برنشتاین به نظریه احتمالات پرداخت و در سال ۱۹۱۷ به اصل موضوعی کردن احتمالات پرداخت. وی در سال ۱۹۳۲ در کنگره جهانی ریاضیدانان در زوریخ سخنرانی کرد.

و معرفی بعضی از اجسام پنجگانه افلاطونی یا اجسام منتظم پنجگانه (یک چند وجهی را منتظم گوییم اگر وجوه آن چند ضلعی‌های منتظم مساوی باشند و کنج‌های آن نیز همگی برابر)(ز) بسط روش اصل موضوعی که اثبات یک ادعاست به وسیله سلسله استنتاج‌های دقیق از چند فرض آغازین که کاملاً مشخص هستند.

در حقیقت هرآنچه از اصول موضوع مجموعه‌ساز در نظریه اصل موضوعی مجموعه‌ها بیان می‌کنیم، ازجمله اصل موضوع زوج‌سازی، اصل موضوع اجتماع و ... حالات کاذبی از اصل موضوع تصریح می‌باشند. چرا که همهٔ آن‌ها وجود مجموعه‌ای را با بیان یک خاصیت بیان می‌کنند، اما معلوج نمی‌باشد عضوهایی که باید در شرط صدق کنند از کجا آورده می‌شوند.

یک مجموعهٔ متناهی از نقاط اولیه است که وقتی قرار است به‌طور منطقی مفهوم شوند اصل موضوعی خوانده می‌شوند.

نظریه مقدماتی مجموعه‌ها می‌تواند به صورت غیررسمی و طبیعی مطالعه شود، که بتوان آن را در مدارس ابتدایی با استفاده از نمودار ون تدریس کرد. رویکرد طبیعی تلویحاً فرض می‌کند که یک مجموعه می‌تواند از تشکیل کلاس کل اشیایی تولید شود که از یک شرط خاص تبعیت می‌کنند. این فرض تناقض‌هایی را به دنبال دارد، که ساده‌ترین و معروف‌ترین آن‌ها پارادوکس راسل و پارادوکس بورالی-فورتی هستند. نظریه اصل موضوعی مجموعه‌ها در اصل درست شده بود که نظریه مجموعه‌ها را از چنین پارادوکس‌هایی برهاند.

آن‌ها سعی کردند نظریه مجموعه‌ها را بر پایهٔ اصولی قوی‌تر و پیچیده‌تر از اصل موضوع گسترش استوار کنند تا از تعریف چنین مجموعه‌هایی جلوگیری شود. این پارادکس، راسل را برای گسترش هرچه بیشتر نظریهٔ انواع و ارنست تسرملو را برای گسترش نظریه اصل موضوعی مجموعه‌ها سوق داد و موجب پیدایش نظریه مجموعه‌های تسرملو-فرانکیل و سایر دستگاه‌های اصل موضوعی مجموعه‌ها شد.

فانو بیش از همه به خاطر کارهایش در هندسه متناهی (صفحه فانو) نامبردار است. او پیش از داوید هیلبرت، هندسه را بر پایه ای اصل موضوعی سوار کرده بود و این اصول موضوعه مجرد و استقلال آنها را پژوهیده بود. او همچنین روی هندسه های نا-ارشمیدسی نیز کار کرده بود. کتابهای درسی ای که از درس گفتارهای او درباره هندسه نمایشی (۱۹۱۴)، هندسه تصویری و هندسه تحلیلی (۱۹۳۰) در شمار کتابهای درسی بسیار متداولی در این زمینه ها در آمدند.

مطالعه جدید بر روی نظریه مجموعه‌ها توسط جرج کانتور و ریچارد ددکیند در دهه ۷۰ قرن ۱۸ میلادی شروع شد. پس از کشف تناقض‌های نظریه طبیعی مجموعه‌ها، دستگاه‌های اصل موضوعی بی‌شماری در اوایل قرن ۲۰ مطرح شدند که معروف‌ترین آن‌ها اصل موضوعه زرملو-فرانکل و اصل موضوعه انتخاب هستند.