مجانبی

یک مشکل ویژه برای جاسازی گوی‌ها، یافتن آرایشی است که در آن گوی‌ها تا حد امکان فضا را پر کنند. نسبت فضای پرشده توسط کره‌ها را چگالی جاسازی می‌گویند. از آنجایی که چگالی محلی یک جاسازی در یک فضای نامتناهی می‌تواند بسته به حجمی که روی آن اندازه‌گیری می‌شود متفاوت باشد، مشکل معمولاً به حداکثر رساندن چگالی متوسط یا مجانبی است که در یک حجم به اندازه کافی بزرگ اندازه‌گیری می‌شود.

برای دامنه‌های بزرگتر، دوره به تدریج با دامنه افزایش می‌یابد، بنابراین طولانی‌تر از مقداری است که توسط معادله (۱) داده شده است. به عنوان مثال، در دامنه θ۰ = ۰٫۴ رادیان (۲۳ درجه)، ۱٪ بزرگتر از مقدار داده شده توسط (۱) است. دوره به صورت مجانبی (به بی‌نهایت) افزایش می‌یابد زیرا θ۰ به π رادیان (۱۸۰ درجه) نزدیک می‌شود، زیرا مقدار θ۰ = π یک تعادل مکانیکی برای آونگ است. دوره واقعی یک آونگ ساده گرانشی ایده‌آل را می‌توان در چندین شکل مختلف نوشت (به آونگ (مکانیک) مراجعه کنید)، یک مثال آن سری است:

می‌توان نشان داد که لگاریتم درست نمایی بیشینه در حالت کلی برا ی کمترین مربعات و برای کمترین مربعات غیر خطی یکی است. این موضوع می‌تواند برای تخمین‌های مبتنی بر درست نمایی بازه اطمینان و منطقه اطمینان استفاده شود که در حالت کلی بسیار دقیق تر از استفاده از نرمال مجانبی که در بالا بحث شد، است.

در بسیاری از موارد، پارامترهای درست نمایی بیشینه، نرمال مجانبی را تخمین می‌زنند که برابر است با مجموعه پارامترهای صحیح و واقعی و خطای تصادفی که تقریباً نرمال است (البته با این فرض که داده‌ها کافی باشد)، و خطا با نرخ

در اینصورت برآورد درست نمایی بیشینه به صورت مجانبی از توزیع نرمال پیروی می‌کند.

کامل بودن احتمالاتی نیز ویژگی دیگری است بدین سان که احتمال اینکه برنامه‌ریز نتواند مسیری را پیدا کند (با اینکه مسیری وجود داشته)، درحالیکه کار بیشتری درحال انجام است، به‌طور مجانبی به صفر نزدیک می‌شود. کارایی برنامه‌ریزی که این ویژگی را دارد، با استفاده از میزان همگرایی، اندازه‌گیری می‌شود.

گاهی برآورد درست نمایی بیشینه در کران مجموعه پارامترهای ممکن نهفته‌است یا درست نمایی بزرگ و بزرگتر می‌شود تا پارامترها به کران نزدیک شوند. تئوری مجانب استاندارد نیاز به این فرض دارد که پارامترهای واقعی دورتر از مرزها و کران‌ها قرار دارد. اگر داده‌های کافی داشته باشیم، برآورد درست نمایی بیشینه از مرز دور نگه داشته می‌شود؛ ولی با تعداد نمونه‌های کمتر، برآورد به مرزها می‌رسد. در این موارد تئوری مجانبی تقریب کاربردی و درستی نمی‌دهد. مثالها در این موضوع مدل‌های واریانس مؤلفه‌ای هستند که هر مؤلفه دارای واریانس