هندسه جبری

ریشه های هندسه جبری اکثراً به مطالعه معادلات چند جمله ای بر روی اعداد حقیقی بر می گردد. در قرن نوزدهم میلادی، مشخص شد (به‌خصوص در کار ژان ویکتور پونسله و برنارد ریمان) که هندسه جبری با استفاده از میدان اعداد مختلط، که ویژگی بسته جبری بودن را دارا می باشد، ساده تر می شود. دو مسئله که به مرور توجهات را در اوایل قرن بیستم به خود جلب کردند، مسائلی بودند که از نظریه اعداد برآمدند: چگونه هندسه جبری را می توان بر روی هر میدان جبری بسته، به‌خصوص با مشخصه مثبت توسعه داد؟ (به نظر می آید که ابزار توپولوژی و آنالیز مختلطی که برای مطالعه واریته های مختلط استفاده شدند در اینجا کارایی ندارند) و سؤال دوم این که در مورد هندسه جبری روی هر میدانی چه می توان گفت؟

اسکار زاریسکی (روسی: О́шер Зари́цкий؛ ۲۴ آوریل ۱۸۹۹ – ۴ ژوئیهٔ ۱۹۸۶) ریاضی‌دان، استاد دانشگاه، و محقق اهل ایالات متحده آمریکا-بلاروس که در زمینه هندسه جبری فعالیت می‌کند.

او به خاطر کارهایش در نظریه اعداد و هندسه جبری معروف است. او یکی از اعضا، و ظاهراً، از بنیانگذاران گروه نیکلا بورباکی بود.

هندسه دانان جبری مکتب ایتالیا اغلب از مفهوم نقطه جنریک، که تا حدی مبهم بود، استفاده می کرده اند. اگر خاصیتی در مورد نقطه جنریک صدق کند، آن خاصیت برای "بسیاری" از نقاط آن واریته نیز صدق می کند. در کتاب "بنیاد هندسه جبری (۱۹۴۶)" ویل، نقاط جنریک از مجموعه بسیار بزرگ میدان بسته جبری ساخته می شدند که به آن یک دامنه جهانی گفته می شد. گرچه که این فرایند به گونه ای بنیادین عمل می کرد، اما نکته ای ناشیانه داشت: نقاط جنریک بسیاری برای یک واریته خاص وجود داشت (در نظریۀ اسکیم ها که بعد ها ایجاد شد، هر واریته جبری یک نقطه جنریک منحصر به فرد دارد).

جبر جابجایی نوتر و کرول را می توان به عنوان رویکردی جبری به واریته های جبری آفینی در نظر گرفت. با این حال، بسیاری از بحث‌های هندسه جبری بر روی واریته‌های تصویری بهتر عمل می‌کنند، چرا که اساساً این واریته‌ها فشرده هستند. از دهه ۱۹۲۰ تا ۱۹۴۰ میلادی، ون در واردن، آندره ویل و اسکار زاریسکی، جبر جابجایی را به عنوان بنیانی جدید برای هندسه جبری برای کار بر روی واریته‌های تصویری که غنای بیشتری داشتند به کار بردند. به‌خصوص، توپولوژی زاریسکی که یک توپولوژی مفید برای واریته‌هایی که روی هر میدان جبراً بسته تشکیل می شوند، تا حدی جایگزین توپولوژی کلاسیک روی یک واریته مختلط (بر اساس توپولوژی اعداد مختلط) می‌شود.

در دهه ۱۹۵۰، کلاود چاولی، ماسایوشی ناگاتا و ژان-پیر سر، از حدس‌های ویل انگیزه گرفتند تا نظریه اعداد و هندسه جبری را با هم پیوند داده و اشیاء هندسه جبری را بیش از پیش توسعه دهند، به عنوان مثال با تعمیم حلقه های پایه ای مجاز. کلمه ی اسکیم اولین بار در سمینار چاولی در سال ۱۹۵۶ استفاده شد، که در آن چاولی از ایده های زاریسکی پیروی می کرد. بر اساس عقیده پیر کارتیر، این آندره مارتین بود که به سر پیشنهاد کرد که می توان از طیف یک حلقه جابجایی دلخواه به عنوان پایه و زیر بنای هندسه جبری استفاده کرد.