هندسه

هِندسه (geometry)
انواع حجم های سه بعدی
شاخه ای از ریاضیات، برای بررسی ویژگی های شکل های مسطح (واقع در صفحۀ دوبعدی) یا فضایی (واقع در فضای سه بعدی). این موضوع را به دو نوع اصلی تقسیم می کنند: هندسۀ محضکه نوع سنتی هندسه و تقریباً شامل هندسۀ مسطحه و فضایی مورد بحث در کتاب اصولاقلیدس، ریاضی دان یونانی، است (← اقلیدس)، و هندسۀ تحلیلییا هندسۀ مختصاتیکه در آن مسئله ها را با روش های جبریحل می کنند. نوع سوم، که نوع کاملاً متفاوتی از هندسه است، شامل هندسه های نااقلیدسیاست که با کنارگذاشتن اصل موضوع پنجم اقلیدس، اصل موضوع توازی، شکل گرفته اند. ازجمله هندسه های مهم و مفید جدید هندسۀ دیفرانسیلیاست که با روش های حساب دیفرانسیل و انتگرالبه مطالعۀ منحنی هاو سطح ها می پردازد.هندسۀ محض. عمدتاً با ویژگی های قابل اندازه گیری اشکال سروکار دارد، ازجمله طول، مساحتو زاویه. بنابراین، از لحاظ عملی اهمیت زیادی دارد. انطباق پذیری یا هم نهشتیمفهوم مهمی در هندسۀ اقلیدسی است. دو شکل را انطباق پذیر می گویند، اگر همانند، هم اندازه، و هم مساحت باشند. اگر یکی از دو شکل را به صورت شیء صلبی در نظر بگیریم که بتوان آن‎ را برداشت، حرکت داد، و روی شکل دیگر قرار داد؛ آن گاه اگر دقیقاً بر هم منطبق شوند، آن دو شکل انطباق پذیرند. چند قاعدۀ ساده دربارۀ انطباق پذیری: (۱) دو پاره خط انطباق پذیرند، اگر طول آن ها برابر باشد؛ (۲) دو مثلث انطباق پذیرند، اگر یکی از حالت های زیر برقرار باشد: (الف) اضلاعدو مثلث دوبه دو برابر باشند، (ب) دو ضلع و زاویۀ بین آن ها از یک مثلث با دو ضلع و زاویۀ بین آن ها از مثلث دیگر برابر باشند، و (ج) دو زاویه و ضلع بین آن ها از یک مثلث با دو زاویه و ضلع بین آن ها از مثلث دیگر برابر باشند. (۳) دو چندضلعیانطباق پذیرند، اگر بتوان آن ها را به مثلث هایی تجزیه کرد، به طوری که هر مثلث از یکی بر مثلث متناظر از دیگری انطباق پذیر باشد. مفهوم جابه جایی یک شیء صلبرا برای آزمودن انطباق پذیری آن با شیء دیگر می توان دقیق تر و برحسب حرکت هایا تبدیل های مقدماتی شکل ها بیان کرد: (۱) انتقالکه در آن، همۀ نقاط یک فاصله را در یک جهت روی خط های متوازیطی می کنند؛ (۲) دورانبا یک زاویۀ معیّن حول یک نقطۀ ثابت؛ (۳) تقارن یا قرینه یابیکه مستلزم «پشت وروکردن» شکل است، یعنی حرکتی که شامل خروج از صفحه می شود. حال دو شکل انطباق پذیر با یکدیگرند، اگر یکی از آن ها را بتوان با رشته ای از این حرکت های مقدماتی به دیگری تبدیلکرد. در هندسۀ اقلیدسی، نوع چهارم حرکت را هم بررسی می کنند که عبارت است از تجانس، یعنی بزرگ یا کوچک کردن شکل در همۀ جهات با ضریبی یکسان. اگر شکلی را بتوان با ترکیبی از انتقال، دوران، تقارن، و تجانس به شکل دیگری تبدیل کرد، آن دو شکل متشابه اند. همۀ دایره ها و همۀ مربع هامتشابه اند. دو مثلث متشابه اند، اگر هر زاویه از یکی با زاویه ای از دیگری برابر باشد.
هندسۀ تحلیلی یا هندسۀ مختصاتی. دستگاهی هندسی است که در آن خط های راست، منحنی ها، سطح ها (رویه ها) و کلاً شکل های هندسی با عبارات جبری نشان داده می شوند. در هندسۀ تحلیلی مسطحه) دوبعدی (صفحه را معمولاً با دو محور عمود برهم تعریف می کنند: یکی محور افقی x و دیگری محور قائم y که یکدیگر را در مبدأ O قطع می کنند. هر نقطۀ واقع بر این صفحه را می توان با یک جفت مختصات دکارتینمایش داد که مکان نقطه را بر حسب فاصله اش از محورهای y و x مشخص می کند. این فاصله ها به ترتیب مختصات x و yنقطه اند. در این جا، خط ها و منحنی ها را با معادله هایشان نمایش می دهند. مثلاًy = ۲x + ۱ معادلۀ یک خط راستو y = ۳x۲ + ۲x معادلۀ یک سهمیاست. برای ترسیم نمودار معادله، نقاطی را که مختصاتشان در معادله صادق اند مشخص، و آن ها را به هم وصل می کنند. یکی از مزایای هندسۀ تحلیلی این است که راه حل مسئلۀ هندسی بدون ترسیم و با عملیاتی روی عبارت های جبری به دست می آید. مثلاً، مختصات نقطۀ تقاطع دو خط راست را می توان با یافتن مقادیر یکتای x وyای که در معادلۀ هر دو خط صدق کنند، یعنی با حل دستگاه معادلات متشکل از آن دو، به دست آورد. منحنی هایی که در هندسۀ تحلیلی مقدماتی مطالعه می شوند عبارت اند از مقاطع مخروطی، شامل دایره، بیضی، سهمی، و هذلولی. هر یک از این مقاطع معادلۀ مشخصۀخاصی دارد. هندسه احتمالاً در مصر باستان پدید آمد و نخست برای اندازه گیری زمین هایی به کار می رفت که به سبب طغیان های متناوب رودخانۀ نیل تغییر می کردند. سپس، کاربرد آن به مساحی و دریانوردیهم تسری یافت. نخستین ریاضی دانانی که آثاری از آن ها به جای مانده است عبارت اند از ریاضی دانان یونانی، طالس، فیثاغورس، و اقلیدس. هندسۀ تحلیلی را فیلسوف فرانسوی، رنه دکارت، در قرن ۱۷ ابداع کرد. در قرن ۱۹، کارل فریدریش گاوس، یانوش بویویی، نیکُلای لُباچفسکی، و برنهارد ریمانچندین هندسۀ نااقلیدسی عرضه کردند که مبتنی بر نفی اصل موضوع توازی اقلیدس اند. این اصل معادل با این گزاره است که از نقطه ای خارج یک خط، فقط یک خط می توان به موازات آن رسم کرد. از آن جا که این اصل مانند سایر اصول موضوع هندسۀ اقلیدسی بدیهی به نظر نمی رسید، محل مناقشات فراوان بود و طی قرن ها، ریاضی دانان بسیاری در شرق و غرب بیهوده کوشیدند آن را اثبات و به صورت قضیه از اصول موضوع دیگر استنتاج کنند. در قرن ۱۹، مشخص شد می توان هندسه های دیگری ساخت که به این اصل وابسته نباشند .این هندسه ها بعدها در نظریۀ نسبیتکاربرد یافت.