شمارشی

در قدم ۲ مرتب‌سازی که استفاده می‌شود مرتب‌سازی پیمانه‌ای یا مرتب‌ساز شمارشی است که وقتی کارآمد هستند که تعداد کمی عدد داشته باشیم.

تعداد زیادی از مسائل شمارشی در ترکیبیات هستند که راه حلی با استفاده از اعداد کاتالان برای آن‌ها ارائه شده‌است. کتاب ترکیبیات شمارشی جلد دوم اثر ریچارد استانلی شامل مجموعه‌ای از تمرین هاست که ۶۶ تفسیر مختلف از اعداد کاتالان را شرح می‌دهد. در زیر چند نمونه آمده‌است.

تدمری از سامانه‌ای نا-دهگانی بهره می‌جوید که شماره‌ها از نمادهای ‍۱، ۲، ۳، ۴، ۵، ۱۰ و ۲۰ ساخته می‌شوند. این سامانه شمارشی بسیار به نیای آرامی خویش مانسته است که شماره‌ها با بهره جویی از نمادهای ۱، ۲، ۳، ۱۰، ۲۰، ۱۰۰ و ۱۰۰۰ ساخته می‌شوند.

افتخاری در مقطع پسادکتری در زمینهٔ توپولوژی ابعاد پایین و هندسهٔ شمارشی در دانشگاه هاروارد به کار پرداخته و همزمان به تدریس دروسی همانند سیستم‌های دینامیکی در دانشگاه هاروارد پرداخته است. وی در حال حاضر بالغ بر ۱۰ سال است که معاون دپارتمان ریاضی پژوهشگاه دانش‌های بنیادی است.

مجموعه اعداد صحیح از صفر (۰)، اعداد طبیعی مثبت (۱، ۲، ۳، ...)، که همچنین اعداد شمارشی نیز گفته می‌شوند، و وارون جمعیشان (اعداد صحیح منفی، یعنی، ۱−، ۲−، ۳−، ...) تشکیل شده‌است.

پس یک پیاده‌سازی مرتب‌سازی مبنایی کم ارزش‌ترین رقم تعداد دفعاتی که یک رقم در هر ستون اتفاق می‌افتد را برای همه ستون‌ها در یک گذر شمارشی می‌شمارد. دیگر پیاده‌سازی‌های مرتب‌سازی مبنایی کم ارزش‌ترین رقم فضا را برای پیمانه‌ها، به صورت پویا در زمانی که فضا لازم است، می‌گیرد.