احتمالات

اثبات احتمالاتی مانند اثبات با شبیه‌سازی، یکی از راه‌های مختلف برای نشان دادن تئوری‌های وجودی می‌باشند.

او به‌خاطر توسعه نظریه پایداری سیستم‌های دینامیکی و نیز سهم عمده‌اش در نظریه احتمالات و فیزیک ریاضی شهرت دارد.

) که تمامی حالات مدل پنهان مارکف را بیان می‌کند، به صورت ماتریس احتمالاتی

اعداد کاتالان در ریاضیات ترکیبی، یک سری از اعداد طبیعی هستند که در مسائل شمارشی متنوع که معمولاً اشیا به صورت بازگشتی تعریف شده را در بر می‌گیرند، رخ می‌دهند. این اعداد به افتخار ریاضیدان بلژیکی شارل کاتالان (۱۸۹۴-۱۸۱۴) اعداد کاتالان نامیده می‌شوند. وی استنتاج مقدماتی از فرمول را کشف کرد. کاتالان مقالات متعددی در زمینه آنالیز، ترکیبیات، جبر، هندسه، احتمالات و نظریه اعداد منتشر کرد. درستی حدس او که اعداد ۰، ۱، ۸، ۹ تنها زوج اعداد توان کامل متوالی است که به صورت توانی می‌باشد در دهه ۱۹۷۰ ثابت شد.

حداقل دو تلاش موفق برای به صورت فرمول درآوردن احتمال وجود دارد: فرمولاسیون کولموگروف و فرمولاسیون کاکس. در فرمولاسیون کولموگروف (نگاه کنیدبه)، مجموعه‌ها به عنوان واقعه و احتمالات را به عنوان میزانی روی یک سری از مجموعه‌ها تفسیر می‌کنند. در نظریه کاکس، احتمال به عنوان یک اصل (که هست، بدون تجزیه و تحلیل بیشتر) و تأکید بر روی ساخت یک انتساب سازگار از مقادیر احتمال برای گزاره‌ها است. در هر دو مورد، قوانین احتمال یکی هستند مگر برای جزئیات تکنیکی مربوط به آنها.

دارایاحتمالات پیشین و حالات‌های پایانی یکسان هستند و شامل تمامی مشاهدات ما هستند.

باید با بردار حالت اولیه ترکیب شود تا محتمل‌ترین حالت اولیه را پیدا کنیم. ما همچنان می‌دانیم که احتمالات پسین خودشان به اندازهٔ کافی اعتبار دارند تا محتمل‌ترین حالت پایانی را محاسبه کنند. به همین ترتیب احتمالات پسین هم می‌توانند با بردارهای حالات اولیه ترکیب شوند تا محتمل‌ترین حالت آغازین طبق مشاهدات را به ما بدهند. احتمالات پسین و پیشین با ترکیب با هم می‌توانند احتمال حالات محتمل آغازین و پایانی را محاسبه کنند.

در سده بیستم، دو چارچوب نظری برای فرموله بندی قوانین فیزیکی ظهور پیدا کردند. اولین آن‌ها نظریه نسبیت عام انیشتین بود، نظریه ای که نیروی گرانش و ساختار فضا-زمان را توصیف کرد. دیگری مکانیک کوانتومی بود، یک فرموله بندی کاملاً متفاوت برای توصیف پدیده‌های فیزیکی که از اصول شناخته شدهٔ احتمالاتی استفاده می‌کرد. تا پایان دهه ۱۹۷۰، این دو چارچوب باید خود را از نظر توصیفی راضی کننده برای بسیاری از ویژگی‌های مشاهده شده در جهان، از ذرات بنیادی گرفته تا اتم‌ها تا تکامل ستاره‌ها و کل جهان، اثبات می‌کردند.

تا کنون مشخص نیست چه کسانی و با چه انگیزه‌ای دست به چنین اقداماتی زده‌اند. ولی منابع خبری در مورد برخی از احتمالات صحبت کرده‌اند.

این آساناها نسبت به آساناهای سطح پایه چالش برانگیزتر هستند و به قدرت، انعطاف‌پذیری و تعادل بیشتری نیاز دارند معمولاً بر روی وضعیت‌های پایه‌ای که در کلاس‌های سطح مبتدی آموخته می‌شوند و می‌توانند چالش‌برانگیز باشند، ایجاد می‌کنند، اما فرصتی برای تعمیق تمرین و کشف احتمالات جدید نیز ارائه می‌دهند.