اتحاد مثلث

قرارداد سن پترزبورگ در سال قرارداد ۱۹۰۷ میان کشورهای روسیه و بریتانیا در منطقهٔ سن پترزبورگ امضا شد. این پیمان آخرین قدم در راه ایجاد تفاهم مثلث بود و با حل مشکلات بین بریتانیا و روسیه، این دو کشور را همراه با فرانسه در برابر اتحاد مثلث متحد کرد. بر پایه این قرارداد بریتانیا پیشنهاد تقسیم ایران به دو منطقه نفوذ را داد. منطقه شمالی به روسیه تزاری اعطا شد و منطقه جنوبی به بریتانیای کبیر. منطقه میانی باید به عنوان منطقه بی‌طرف کار می‌کرد.

توافق روسیه و فرانسه تا ۱۸۹۶ محرمانه بود و از آن تاریخ، اروپا به دو اردوگاه اتحاد مثلث و اتحاد فرانسه-روسیه تقسیم شد.

این همانی‌ها هنگامی مفید واقع می‌شوند که عبارات شامل توابع مثلثاتی نیازمند ساده‌سازی‌اند. یک کاربرد مهم، انتگرال‌گیری از توابع غیر توابع مثلثاتی است: روشی معمول این است که ابتدا ضابطه با یک تابع مثلثاتی جایگزین شده و سپس، انتگرال به دست آمده با یک اتحاد مثلثاتی جایگزین شود.

توافق قلبی یا آنتانت کوردیال مجموعه‌ای از پیمان‌های دوستی بین جمهوری سوم فرانسه و پادشاهی بریتانیای کبیر و ایرلند بود که در ۸ آوریل ۱۹۰۴ امضا شد و با حل مشکلات بین دو کشور، شرایط را برای تفاهم مثلث فراهم کرد. امضای این قرارداد نتیجه سیاست‌های وزیر خارجه فرانسه تئوفیل دلکسه (معروف به سیستم دلکسه) بود که باور داشت اتحاد فرانسه با بریتانیا می‌تواند امنیت این کشور را با توازن قوا در برابر آلمان و سیستم اتحاد مثلث تأمین کند.

پس از آنکه امپراتور آلمان، ویلهلم دوم، بیسمارک را از صدراعظمی برکنار کرد، اتریش-مجارستان که از زیر سایه وی رها شده بود دست به گسترش نفوذ خود در بالکان زد. این اقدام موجب نگرانی روسیه شد، چرا که این کشور خود را حامی ملت‌های مسیحی بالکان می‌دانست. از سوی دیگر ویلهلم دوم موافق سیاست تضمین اتحاد آلمان و روسیه در سیستم دیپلماسی بیسمارک که موجب انزوای فرانسه می‌شد نبود و آن را با روح اتحاد مثلث مغایر می‌دانست.